Андрей Костицын – воспитанник новополоцкой детско-юношеской хоккейной школы. За национальную сборную Белоруссии выступает с 2002 года. Участник чемпионатов мира 2003, 2004 в первом дивизионе, 2005, 2006, 2008, 2012 годов в составе сборной Белоруссии.

По состоянию на конец сезона 2010/11 провел в регулярных чемпионатах НХЛ 326 игр, в которых набрал 186 (87+99) очков.

В феврале 2012 года «Монреаль Канадиенс» обменял Андрея Костицына в «Нэшвилл». Компенсацией за Костицына стали выбор во втором раунде драфта и условный выбор на драфте 2013 года.

В России выступал за ЦСКА и «Химик» в период с 2002 по 2004 года.